全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.
一.选择题 (本题满分36分, 每小题6分)
?1. 函数 y?f(x) 的图像按向量 a?(,2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
?y?sin(x?)?2. 那么 y?f(x) 的解析式为 4
A. y?sinx B. y?cosx C. y?sinx?2 D. y?cosx?4
答: [ B ]
解： y?sin[(x??)?], 即 y?cosx. 故选 B. 44?
2. 如果二次方程 x2?px?q?0(p,q?N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
答: [ C ]
解：由 ??p2?4q?0,?q?0, 知方程的根为一正一负.
22设 f(x)?x?px?q，则 f(3)?3?3p?q?0, 即 3p?q?9.
由于 p,q?N*， 所以 p?1,q?5 或 p?2,q?2. 于是共有7组 (p,q)符合 题意. 故选 C.
3. 设 a?b?0, 那么 a2?1 的最小值是 b(a?b)
答: [ C ] A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：由 a?b?0, 可知
a2a10?b(a?b)??(b?)2?a2, 424
所以， a?214?a2?2?4. 故选 C. b(a?b)a
1 1
4. 设四棱锥 P?ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ?
A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个
答: [ D ]
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线
为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 ?.
作与 ? 平行的平面 P?, 与四棱锥的各个侧面
ADC1相截，则截得的四边形必为平行四边形.而这样
的平面 ? 有无数多个.故选 D. C
B
5. 设数列 {an}: a0?2,a1?16,an?2?16an?1?63an, n?N*, 则 a2005 被 64 除的余数为
A. 0 B. 2 C. 16 D. 48
答: [ C ]
解：数列 {an} 模 64 周期地为 2，16，-2，-16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C.
6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m2的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有
A. 308个 B. 30?257个 C. 30?207个 D. 30?217个
答: [ D ]
解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色.若铺 B 色，则有 (6?1) 种铺法;若不
2铺 B 色，则有 (6?2) 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若A7前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法.因此，共有 30?21 种铺法. 故
选 D.
二.填空题 (本题满分36分, 每小题6分)
?7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB, 且 2OA?OB?(7,9), 则 2
1123向量 OB? (-，) . 55
解：设 OA?(m,n), 则 OB?(?n,m), 所以
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